PCA Reducción de Dimensiones

¿Qué es el PCA?

PCA transforma variables correlacionadas en componentes principales no correlacionados. Cada componente captura la máxima varianza restante. Los primeros suelen capturar 80-95 % del total.

Calcula autovectores y autovalores de la matriz de covarianza. Los autovectores definen direcciones de ejes, los autovalores cuantifican la varianza. Se estandariza antes de PCA.

El gráfico scree muestra autovalores vs componente. El biplot visualiza puntuaciones y cargas para interpretar componentes.

Formula: Matriz de covarianza: C = (1/(n−1)) XᵀX (X centrada) Descomposición espectral: C·v = λ·v Puntuaciones PC: Z = X·V Varianza explicada = λₖ / Σλᵢ Estandarizado (por defecto): dividir primero cada columna centrada por su desviación estándar — C pasa a ser la matriz de correlación R y Σλᵢ = número de variables

Ejemplo de cálculo

Cinco piezas medidas en tres dimensiones en mm: largo 24/26/25/28/27, ancho 35/35/37/38/40, alto 13/14/14/15/14. La matriz de covarianza tiene autovalores λ₁ = 6,21, λ₂ = 1,22, λ₃ = 0,07, varianza total 7,50. PC1 explica 6,21/7,50 = 82,7 %, PC2 16,3 %, acumulado 99,0 % — conservar 2 componentes reduce tres dimensiones a dos y conserva el 99 % de la varianza. Las tres variables comparten unidad, así que la matriz de covarianza es la adecuada; con unidades distintas habría que estandarizar primero, o la de números más grandes dominaría PC1. Para reproducir estas cifras en la calculadora, desmarque Estandarizar variables: está activado por defecto y entonces descompone la matriz de correlación.

Cuándo usar esta calculadora

• Un científico de datos que reduce un conjunto de características de alta dimensionalidad (50+ variables) a un número manejable de componentes antes de alimentar un modelo de aprendizaje automático
• Un investigador que visualiza datos de alta dimensionalidad en 2D o 3D usando los primeros 2-3 componentes principales para detectar patrones o clústeres
• Un ingeniero de calidad que identifica las principales fuentes de variación en un proceso de fabricación multivariable mediante análisis factorial
• Un analista que elimina la multicolinealidad de las variables predictoras reemplazando características correlacionadas por componentes principales no correlacionados

Errores comunes a evitar

• No estandarizar los datos antes del PCA — las variables con mayores escalas dominan la varianza y el primer componente simplemente refleja la variable de mayor varianza; estandarice siempre a media cero y varianza unitaria
• Conservar muy pocos componentes y perder información importante — si la varianza explicada acumulada está por debajo del 70%, se está descartando señal importante; apunte al 80-95%
• Interpretar los componentes principales como variables individuales — los PC son combinaciones lineales de todas las variables originales; representan direcciones de varianza máxima, no características individuales
• Aplicar PCA a datos con muy pocas observaciones en relación con las variables — el PCA necesita al menos tantas observaciones como variables (idealmente 5-10x) para producir resultados estables

Cómo interpretar los resultados

• Si los primeros 2-3 componentes explican el 80%+ de la varianza, sus datos son efectivamente de baja dimensionalidad y el biplot ofrece un resumen significativo
• Las cargas con valores absolutos altos indican qué variables originales contribuyen más a cada componente — esto ayuda a interpretar qué representa el componente
• Grandes brechas entre autovalores consecutivos en el gráfico de sedimentación indican fronteras naturales de dimensionalidad — los componentes después de la brecha aportan principalmente ruido

Normas y referencias relacionadas

• Pearson, K. (1901), 'On Lines and Planes of Closest Fit to Systems of Points in Space', Philosophical Magazine — origen geométrico del análisis de componentes principales
• Hotelling, H. (1933), 'Analysis of a Complex of Statistical Variables into Principal Components', Journal of Educational Psychology — formulación del PCA por maximización de la varianza
• Jolliffe, I. T., Principal Component Analysis (Springer) — referencia moderna integral que incluye reglas de retención de componentes

Preguntas frecuentes

¿Estandarizar antes de PCA?

Sí, casi siempre. Variables con diferentes unidades/escalas dominan el PCA. Estandarizar a media 0 y varianza 1.

¿Cuántos componentes retener?

Hasta varianza acumulada 80-95 %, el 'codo' del scree plot, o regla de Kaiser (autovalor > 1).