Análisis de regresión múltiple

¿Qué es la regresión múltiple?

La regresión múltiple modela la relación entre una variable respuesta (y) y múltiples predictores. Modelo: y = β₀ + β₁x₁ + … + βₚxₚ + ε, estimado por OLS.

Diagnósticos: R², R² ajustado, F-test p-valor, p-valores de coeficientes individuales, VIF para multicolinealidad.

VIF > 5-10 indica multicolinealidad problemática. Soluciones: eliminar variables redundantes, regularización (Ridge, Lasso). Patrones en residuos indican mala especificación.

Formula: y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ⋯ + βₚxₚ + ε β = (XᵀX)⁻¹Xᵀy R² = 1 − SS_res/SS_tot R² ajustado = 1 − (1−R²)(n−1)/(n−p−1) VIF_j = 1/(1 − R²_j)

Ejemplo de cálculo

Precio de casa por área x₁ y edad x₂. Cinco casas: área 1.300/1.800/1.900/2.000/2.400 pies², edad 10/5/12/25/15 años, precio $150.000/$233.000/$216.000/$208.000/$249.000. El ajuste por mínimos cuadrados da β₀=50.000, β₁=100, β₂=−2.000. R²=0,92, Adj R²=0,84. VIF=1,2.

Cuándo usar esta calculadora

• Un investigador que modela la relación entre múltiples variables independientes y un resultado para identificar predictores significativos
• Un analista de negocios que construye un modelo predictivo de ventas a partir de múltiples factores como precio, gasto en publicidad y estacionalidad
• Un ingeniero de calidad que determina qué variables de proceso afectan conjuntamente la calidad del producto mediante análisis multifactorial
• Un científico de datos que verifica la multicolinealidad (VIF) antes de usar los coeficientes de regresión para interpretar características

Errores comunes a evitar

• Incluir predictores altamente correlacionados sin revisar el VIF — la multicolinealidad hace que los coeficientes individuales sean poco fiables y que los cambios de signo sean comunes; elimine o combine las variables redundantes
• Agregar demasiados predictores en relación con el tamaño de la muestra — la regla general es al menos 10-20 observaciones por predictor; el sobreajuste ocurre cuando esta proporción es demasiado baja
• Interpretar las magnitudes de los coeficientes sin estandarizar — un coeficiente de 100 para una variable medida en milímetros no es 'más importante' que un coeficiente de 0.5 para una variable en metros; compare coeficientes estandarizados
• Ignorar el gráfico de residuos — un buen R cuadrado con residuos con patrón indica una mala especificación del modelo; verifique siempre que los residuos estén dispersos aleatoriamente

Cómo interpretar los resultados

• Un R cuadrado ajustado por debajo de 0.5 significa que el modelo explica menos de la mitad de la variación — considere agregar predictores más relevantes o transformar variables
• Un valor p de F por debajo de 0.05 significa que el modelo en su conjunto es estadísticamente significativo — al menos un predictor contribuye de forma relevante
• Valores p de coeficientes individuales por encima de 0.05 sugieren que ese predictor puede no contribuir significativamente dadas las demás variables — considere eliminarlo para simplificar el modelo

Normas y referencias relacionadas

• Draper & Smith, Applied Regression Analysis (Wiley) — referencia clásica de OLS que incluye pruebas F y análisis de residuos
• Kutner, Nachtsheim & Neter, Applied Linear Statistical Models (McGraw-Hill) — tratamiento de libro de texto de la regresión múltiple, el R² ajustado y el VIF
• Belsley, Kuh & Welsch (1980), Regression Diagnostics (Wiley) — referencia estándar sobre la detección de multicolinealidad y observaciones influyentes

Preguntas frecuentes

¿Qué es R² ajustado?

R² siempre aumenta con más variables. R² ajustado penaliza el número de predictores. Usar para comparar modelos con diferente número de variables.

¿Qué significa VIF alto?

VIF mide la inflación de varianza del coeficiente. VIF=1: sin colinealidad. >5: moderada. >10: severa multicolinealidad.