正規性検定

データが正規分布に従うかを検定. Shapiro-Wilk、Anderson-Darling、Jarque-Bera検定で正規性を評価します。ヒストグラムとQQプロットで可視化します。. 管理図、工程能力指数(Cpk/Ppk)、t 検定、ANOVA…

Shapiro-Wilk、Anderson-Darling、Jarque-Bera検定で正規性を評価します。ヒストグラムとQQプロットで可視化します。

正規性検定とは？

管理図、工程能力指数(Cpk/Ppk)、t 検定、ANOVA をはじめとする多くの統計手法は、対象データが正規(ガウス)分布に従うことを前提としています。正規性検定は、これらの手法を適用する前にこの前提を確認するものです。正規性が満たされていないと、信頼区間、工程能力の推定値、仮説検定の結論が誤ったものになりかねません。

Shapiro-Wilk 検定は、小〜中規模の標本(n < 5000)に対して最も検出力の高い正規性検定です。Anderson-Darling 検定は裾での乖離に敏感なため、信頼性や極値を扱う用途に有用です。Jarque-Bera 検定は歪度と尖度を調べるもので、標本サイズが大きい場合によく機能します。

いずれの検定も同じ仮説構造を持ちます。H₀(帰無仮説)= データは正規分布に従う、H₁ = データは正規分布に従わない。p 値 < α(通常 0.05)であれば正規性を棄却します。QQ プロットは視覚的な確認手段となり、点が対角線上に並べば正規性を示し、系統的な乖離は非正規性の性質を明らかにします。

Formula: Shapiro-Wilk: W = (Σ aᵢ x(ᵢ))² / Σ(xᵢ - x̄)² Anderson-Darling: A² = -n - Σ[(2i-1)/n](ln F(x(ᵢ)) + ln(1-F(x(n+1-i)))) reported as A*² = A²(1 + 0.75/n + 2.25/n²) Jarque-Bera: JB = (n/6)(S² + K²/4) where S = skewness, K = excess kurtosis Reject normality if p-value < α (typically 0.05)

計算例

20 個の測定値を検定した結果:Shapiro-Wilk W = 0.965、p = 0.42、Anderson-Darling A² = 0.31、p = 0.52、Jarque-Bera JB = 1.2、p = 0.55。すべての p 値が > 0.05 なので、正規性は棄却されません。QQ プロットでも点が対角線によく沿っています。このデータは正規分布に従うものとして扱えます。

この計算機を使用する場面

CpkまたはPpk計算前 — 工程能力指数は正規データを仮定；非正規データは変換または代替方法が必要
t検定またはANOVA実行前 — これらのパラメトリック検定は正規分布した残差を仮定；違反は信頼区間の正確性に影響
SPC管理図設定時 — 標準管理図限界は正規性を仮定；有意に非正規なデータは異なる管理図タイプが必要
データが異常に見える受入検査時 — 正規性検定は分布がシフトしたか異なる分布モデルが必要かの判断に役立つ
回帰分析のデータ準備時 — 残差の正規性確認が回帰モデルの基礎となる仮定を検証

よくある間違い

非常に大きなサンプルでp値のみに基づいて正規性を棄却 — n > 500では検定が実質的影響のない些細な正規性からの逸脱を検出；視覚的判断のために常にQQプロットを使用
小サンプル（n < 20）で確認せずに正規性を受入 — 小サンプルでは検定の検定力が低く正規性からの意味のある逸脱を検出できない可能性
整数または過度に丸められたデータに正規性検定を適用 — 離散データや固有値が少ないデータは基礎工程が正規でも正規性検定に不合格になりうる；測定分解能が適切か確認
残差を検定すべき場合に生データを検定 — 回帰とANOVAでは生データではなく残差が正規分布すべき

結果の解釈方法

すべての検定でp > 0.05かつQQプロットが線形 — データは正規性と整合；パラメトリック手法と標準能力分析を進行
検定でp < 0.05だがQQプロットがほぼ線形 — 大サンプルでは些細な逸脱でも有意なp値を生成しうる；QQプロットがほぼ線形なら多くの実用目的に正規性は十分
QQプロットがS字型曲線 — データが正規より重い裾を持つ（尖度）；t分布またはロバスト手法を検討
QQプロットが体系的な曲率（凹または凸） — データが歪んでいる；対数またはBox-Cox変換を試行
異なる検定が不一致 — Shapiro-Wilkが一般用途で最も信頼性が高い；Anderson-Darlingは裾が重要な場合（信頼性）に最適；QQプロットを視覚的仲裁者として使用

よくある質問

データが正規性検定に不合格となった場合はどうすればよいですか?

選択肢としては次のものがあります。(1) 対数変換、Box-Cox 変換、Johnson 変換などでデータを変換して正規性を得る。(2) 正規性を仮定しないノンパラメトリック手法を使う(t 検定の代わりに Mann-Whitney 検定など)。(3) データをよりよく表す別の分布(ワイブル分布、対数正規分布など)を当てはめる。(4) 大きな標本(n > 30)では中心極限定理により、平均に基づく検定では正規性からの逸脱の影響が小さくなることが多い。