기둥 좌굴 계산기 (Euler)

기둥 좌굴은 어떻게 계산하나요?

축압축을 받는 세장한 기둥은 재료가 항복하기 훨씬 전에 파괴될 수 있습니다 — 하중이 임계값에 이르면 옆으로 휘며 좌굴합니다. Euler 공식은 그 탄성 임계하중을 줍니다: Pcr = π²EI/(KL)², 여기서 E는 탄성계수, I는 최소(약축) 단면 2차 모멘트, L은 비지지 길이, K는 단부 지지가 정하는 유효길이계수입니다.

단부 조건은 좌굴 형상과 유효길이 KL을 바꿉니다. 핀-핀 기둥은 전 길이에 걸쳐 좌굴하고(K = 1), 양단 고정은 유효길이를 줄여(K = 0.5) 용량을 4배로, 고정-자유 캔틸레버 기둥은 2배로(K = 2) 늘려 1/4 하중에서 좌굴합니다. 용량이 1/(KL)²에 비례하므로 지지와 길이가 결과를 지배합니다.

Euler는 기둥이 탄성적으로 좌굴하는 동안에만 — 즉 세장비 KL/r이 전이 세장비 Cc = π√(2E/σy)보다 클 때에만 — 성립합니다. Cc 아래에서는 굵고 짧은 기둥이 비탄성 좌굴 또는 항복으로 파괴되고 Euler가 과대예측합니다(세장비 → 0이면 Pcr → ∞). 이 계산기는 정직한 Euler 값을 반환하고 적용 불가 시 플래그합니다.

Formula: K = end-condition factor (pinned 1.0, fixed-fixed 0.5, fixed-free 2.0, fixed-pinned 0.7) Pcr = pi^2 x E x I / (K x L)^2 r = sqrt(I / A) lambda = K x L / r Cc = pi x sqrt(2 x E / sy)

예시 계산

핀-핀 강재 기둥 (E = 200 GPa), I = 5×10⁶ mm⁴, A = 5000 mm², L = 5000 mm. r = √(I/A) = 31.6 mm, 세장비 KL/r = 158, 전이 Cc = π√(2·200000/250) = 126. 158 ≥ 126이므로 기둥이 세장해 Euler가 적용됩니다: Pcr = π²·200000·5×10⁶/5000² ≈ 395 kN.

이 계산기를 사용할 때

• 압축 부재 — 스트럿, 기둥, 기계 칼럼, 액추에이터 로드 — 가 항복 전에 좌굴할지 확인할 때
• 단부 구속 옵션을 비교해 단부를 고정하거나 브레이싱하면 좌굴 용량이 얼마나 오르는지 볼 때
• 기둥 산정: 임계하중이 안전율을 두고 작용하중을 넘을 때까지 단면(I, A)이나 길이를 반복 조정
• 다른 곳에서 손 Euler 계산을 하기 전에 부재가 Euler 적용에 충분히 세장한지 확인할 때
• 상세 코드 검토나 FEA 전 프레임·트러스·지그·픽스처의 빠른 1차 압축 검토

피해야 할 흔한 실수

• 강축 단면 2차 모멘트 사용 — 기둥은 가장 약한 축을 중심으로 좌굴하므로, 그 축이 별도로 구속되지 않는 한 최소 I를 사용하세요
• 세장비 한계 무시 — 굵고 짧은 기둥(KL/r < Cc)에 Euler를 적용하면 용량을 크게 과대예측합니다; 도구가 플래그하므로 그 너머로 설계하지 마세요
• 단부 조건 추측 — 실제 '고정' 단부는 이상적인 경우가 드뭅니다; 설계 코드는 불완전 고정을 반영해 이론값보다 큰 K(예: 0.5 대신 0.65)를 권장합니다
• Pcr을 허용하중으로 취급 — 안전율이 없으므로 적절한 안전율로 나누거나 코드 저항계수를 적용하세요
• 비지지 길이 미사용 — 기둥이 한 축에 대해 중간 높이에서 브레이싱되면 그 축의 유효길이는 절반이 됩니다

결과 해석 방법

• 임계하중(Pcr)은 이론적 탄성 좌굴하중 — 사용하중과 비교하기 전에 안전율을 적용하세요
• 세장비(KL/r)는 기둥의 좌굴 취약성을 나타냅니다; 클수록 더 세장하고 Euler 좌굴이 더 지배적입니다
• 세장비 ≥ 전이 Cc이면 기둥이 세장하고 Euler가 유효; 그 아래면 '짧은 기둥' 경고 = 비탄성 좌굴 지배·Euler 과대예측
• 임계응력은 Pcr/A — 항복강도를 초과하면 기둥이 먼저 항복하며, 이는 탄성 Euler가 적용되지 않는 또 다른 신호입니다
• 항복하중(Py = A·σy)은 순수 항복 용량이자 짧은 기둥의 상한 천장; 비탄성 영역에서 실제 파괴하중은 Euler와 항복 값 사이에 있습니다

관련 표준 및 참고문헌

• AISC 360 — 구조용 강구조물 시방서, E장(압축 부재, 휨 좌굴)
• Eurocode 3 (EN 1993-1-1) — 강구조 설계, 부재의 좌굴 저항
• Euler, L. (1744) — 기둥 임계 좌굴하중의 원 유도
• Machinery's Handbook / 재료역학 교재 — Euler·Johnson 기둥 공식, 회전반경

자주 묻는 질문

유효길이계수 K란 무엇인가요?

K는 단부가 어떻게 구속되는지에 따라 실제 기둥 길이를 실제로 좌굴하는 길이로 변환합니다. 이론값: 핀-핀 1.0, 고정-고정 0.5, 고정-자유(캔틸레버) 2.0, 고정-핀 0.7. 용량이 1/(KL)²에 비례하므로 유효길이를 절반으로(양단 고정) 하면 좌굴하중이 4배가 됩니다.

왜 최소 단면 2차 모멘트를 사용하나요?

기둥은 가장 약한 축 — 단면 2차 모멘트 I가 최소인 축 — 을 중심으로 좌굴합니다. 직사각형이나 광폭 플랜지 단면은 한 방향이 다른 방향보다 훨씬 강하므로, 약축 I를 쓰면 지배(최저) 임계하중이 나옵니다. 그 축에 대한 좌굴이 별도로 구속되지 않는 한 최소 I를 입력하고, 구속됐다면 다음으로 큰 I를 사용하세요.

'짧은 기둥 — Euler 과대예측'은 무슨 뜻인가요?

Euler는 기둥이 아직 탄성인 상태에서 좌굴한다고 가정합니다. 굵고 짧은 기둥(세장비가 전이 Cc = π√(2E/σy) 아래)은 탄성 좌굴 전에 응력이 항복에 도달하므로 실제 파괴하중은 비탄성 좌굴 또는 압괴가 지배 — 항상 Euler 아래입니다. 도구는 이를 플래그해 기둥이 결코 도달할 수 없는 Euler 하중으로 설계하지 않도록 합니다. 비탄성(Johnson) 방법이나 항복하중을 사용하세요.

안전율이 포함되나요?

아니요. Pcr은 안전율이 없고 초기 굽음, 하중 편심, 잔류응력을 고려하지 않은 이론적 임계하중입니다. 적절한 안전율(기둥은 흔히 1.9~3.5)이나 설계 코드(AISC, Eurocode)의 저항계수를 적용해 허용/설계 하중을 구하세요.