柱座屈計算ツール（オイラー）

柱の座屈はどのように計算するのか？

軸圧縮を受ける細長い柱は、材料が降伏するはるか手前で破壊することがあります — 荷重が臨界値に達すると横方向にたわみ、座屈します。オイラーの公式はこの弾性座屈荷重を与えます：Pcr = π²EI/(KL)²。ここで E は弾性係数、I は最小（弱軸）断面二次モーメント、L は支持間長さ、K は端部支持によって決まる有効長さ係数です。

端部条件は座屈形状、ひいては有効長さ KL を変化させます。ピン – ピンの柱は全長にわたって座屈し（K = 1）、両端を固定すると有効長さが短くなり（K = 0.5）耐力は4倍になります。固定 – 自由の片持ち柱では有効長さが2倍になり（K = 2）、荷重の4分の1で座屈します。耐力は 1/(KL)² に比例するため、拘束条件と長さが結果を支配します。

オイラー式は柱が弾性的に座屈する間のみ成立します — すなわち、細長比 KL/r が遷移細長比 Cc = π√(2E/σy) を上回っている間です。Cc を下回ると、短い／太短い柱は非弾性座屈または降伏によって破壊し、オイラー式は過大評価となります（細長比 → 0 のとき Pcr → ∞）。この計算ツールは正直なオイラー値を返し、それが適用できなくなる場合を明示します。

Formula: K = end-condition factor (pinned 1.0, fixed-fixed 0.5, fixed-free 2.0, fixed-pinned 0.7) Pcr = pi^2 x E x I / (K x L)^2 r = sqrt(I / A) lambda = K x L / r Cc = pi x sqrt(2 x E / sy)

計算例

ピン – ピンの鋼製柱（E = 200 GPa）、I = 5×10⁶ mm⁴、A = 5000 mm²、L = 5000 mm。r = √(I/A) = 31.6 mm、細長比 KL/r = 158、遷移細長比 Cc = π√(2·200000/250) = 126。158 ≥ 126 であるため柱は細長く、オイラー式が適用されます：Pcr = π²·200000·5×10⁶/5000² ≈ 395 kN。

この計算ツールを使う場面

• 圧縮材 — 支柱、ポスト、機械柱、アクチュエータロッド — が降伏前に座屈するかどうかを確認するとき
• 端部拘束の選択肢を比較し、端部を補剛または固定することで座屈耐力がどれだけ増すかを確認するとき
• 柱の断面設計：座屈荷重が安全率を見込んで作用荷重を確実に上回るまで、断面（I と A）または長さを反復調整するとき
• 別の場所で手計算のオイラー式を用いる前に、部材がオイラー式を適用できるほど細長いことを確認するとき
• 詳細な規準照査や FEA の前に、フレーム、トラス、治具、固定具の圧縮に関する初回の簡易チェックを行うとき

避けるべきよくある間違い

• 強軸の断面二次モーメントを使うこと — 柱は最も弱い軸まわりに座屈するため、その軸が別途補剛されていない限り最小の I を使う
• 細長比の限界を無視すること — 太短い柱（KL/r < Cc）にオイラー式を適用すると耐力を大きく過大評価する。ツールがこれを明示するので、それを超えて設計しない
• 端部条件を当て推量すること — 実際の「固定」端が理想的であることはまれ。設計規準は不完全な固定度を考慮して、理論値より高い K（例：0.5 の代わりに 0.65）を推奨する
• Pcr を許容荷重として扱うこと — 安全率を含まないため、適切な安全率で割るか、規準の抵抗係数を適用する
• 支持間長さを使い忘れること — 柱が一方の軸まわりに中央高さで補剛されている場合、その軸に対する有効長さは半分になる

結果の解釈方法

• 座屈荷重（Pcr）は理論上の弾性座屈荷重です — 使用荷重と比較する前に安全率を適用してください
• 細長比（KL/r）は柱の座屈しやすさを表します。値が大きいほど細長く、オイラー座屈に支配されやすくなります
• 細長比 ≥ 遷移細長比 Cc のとき柱は細長く、オイラー式は有効です。下回るとき、「短柱」の警告は非弾性座屈が支配しオイラー式が過大評価であることを意味します
• 座屈応力は Pcr/A です — これが降伏強度を超える場合、柱は先に降伏することになり、弾性オイラー式が適用できないもう一つの兆候です
• 圧潰荷重（Py = A·σy）は純粋な降伏耐力であり、短柱に対する上限の天井です。真の破壊荷重は、非弾性域におけるオイラー値と圧潰値の間にあります

関連規格・参考文献

• AISC 360 — Specification for Structural Steel Buildings, Chapter E（圧縮材、曲げ座屈）
• Eurocode 3（EN 1993-1-1）— 鋼構造物の設計、部材の座屈耐力
• Euler, L.（1744）— 柱の座屈荷重の原典的な導出
• Machinery's Handbook / 各種材料力学の教科書 — オイラーおよびジョンソンの柱公式、回転半径

よくある質問

有効長さ係数 K とは何ですか？

K は、端部がどのように拘束されているかに基づいて、実際の柱の長さを、実際に座屈が生じる長さへと変換します。理論値は次のとおりです：ピン – ピン 1.0、固定 – 固定 0.5、固定 – 自由（片持ち）2.0、固定 – ピン 0.7。耐力は 1/(KL)² に比例するため、有効長さを半分にすると（両端を固定すると）座屈荷重は4倍になります。

なぜこの計算ツールは最小の断面二次モーメントを使うのですか？

柱は最も弱い軸 — 断面二次モーメント I が最小となる軸 — まわりに座屈します。矩形断面や広幅フランジ断面は一方向にはもう一方よりはるかに剛性が高いため、弱軸の I を用いることで支配的な（最小の）座屈荷重が得られます。その軸まわりの座屈に対して柱が横拘束されている場合を除き、最小の I を入力してください。拘束されている場合は次に大きい I を用います。

「短柱 — オイラー式は過大評価」とはどういう意味ですか？

オイラー式は、柱がまだ弾性的な状態で座屈すると仮定します。太短い柱（細長比が遷移細長比 Cc = π√(2E/σy) を下回る）では、弾性座屈の前に応力が降伏に達するため、実際の破壊荷重は非弾性座屈または圧潰によって支配され、常にオイラー値を下回ります。柱が決して到達できないオイラー荷重を設計値にしないよう、このツールはこれを明示します。代わりに非弾性（ジョンソン）法または圧潰荷重を使用してください。

これは安全率を含んでいますか？

いいえ。Pcr は安全率を含まない理論上の座屈荷重であり、初期不整、荷重の偏心、残留応力に対する余裕も見込んでいません。許容荷重または設計荷重を得るには、適切な安全率（柱では多くの場合 1.9～3.5）、または設計規準（AISC, Eurocode）の抵抗係数を適用してください。