Wünschbarkeits-Optimierung

Was ist die Derringer-Suich-Wünschbarkeitsfunktion?

Die Erwünschtheitsfunktion nach Derringer und Suich ist ein Verfahren zur Optimierung mehrerer Zielgrößen. Sie überführt jede Zielgröße in einen dimensionslosen Erwünschtheitswert (0 bis 1) und fasst diese Werte über das geometrische Mittel zu einer Gesamterwünschtheit zusammen. Eine Erwünschtheit von 1 steht für einen idealen Wert; 0 bedeutet, dass die Zielgröße außerhalb der zulässigen Grenzen liegt.

Drei Zielarten legen fest, wie jede Zielgröße transformiert wird: Maximieren (d steigt von der Unter- zur Obergrenze), Minimieren (d fällt von der Unter- zur Obergrenze) und Zielwert (d erreicht sein Maximum am Zielwert und fällt zu beiden Grenzen hin ab). Die Formparameter s₁ und s₂ steuern die Krümmung: s=1 ergibt eine lineare Erwünschtheit, s<1 einen konvexen Verlauf (leichter zu erfüllen), s>1 einen konkaven Verlauf (schwerer zu erfüllen).

Die Gesamterwünschtheit D ist das geometrische Mittel aller Einzelerwünschtheiten: D = (d₁ × d₂ × ... × dₖ)^(1/k). Dadurch ist sichergestellt, dass die Gesamterwünschtheit ebenfalls 0 beträgt, sobald eine einzelne Zielgröße völlig unannehmbar ist (dᵢ = 0). So werden Kompromisse verhindert, die ein kritisches Qualitätsmerkmal opfern.

Formula: Maximize: d = ((y - L)/(U - L))^s for L <= y <= U Minimize: d = ((U - y)/(U - L))^s for L <= y <= U Target: d = ((y - L)/(T - L))^s1 for L <= y <= T ((U - y)/(U - T))^s2 for T <= y <= U Overall D = (d₁ x d₂ x ... x dₖ)^(1/k)

Berechnungsbeispiel

Zwei Zielgrößen: Ausbeute (maximieren, L=70, U=95, beobachtet=88, s=1) und Kosten (minimieren, L=10, U=50, beobachtet=25, s=1). d_Ausbeute = (88-70)/(95-70) = 0.72. d_Kosten = (50-25)/(50-10) = 0.625. Gesamt-D = (0.72 × 0.625)^(1/2) = √0.45 = 0.671. Eine vertretbare, aber noch verbesserungsfähige kombinierte Erwünschtheit.

Wann diesen Rechner verwenden

• Bei der Prozessoptimierung mit mehreren widersprüchlichen Qualitätszielgrößen die gleichzeitig ausbalanciert werden müssen (z.B. Festigkeit maximieren bei gleichzeitiger Kostenminimierung)
• Bei der Produktrezeptierung wenn jede Zutat verschiedene Zielgrößen unterschiedlich beeinflusst und Trade-offs systematisch bewertet werden müssen
• Nach RSM-Analyse zur Kombination mehrerer Response-Surface-Modelle in eine einzelne Optimierungszielfunktion
• Beim Vergleich alternativer Prozesseinstellungen — die Gesamtzufriedenheit liefert einen einzigen Score der alle Qualitätsanforderungen berücksichtigt
• Bei Designreviews zur Quantifizierung, wie gut eine vorgeschlagene Lösung alle Spezifikationsanforderungen relativ zu anderen Alternativen erfüllt

Häufige Fehler vermeiden

• Grenzen zu eng setzen sodass keine machbare Lösung D > 0 erreicht — mit realistischen Grenzen basierend auf historisch Erreichtem starten, dann schrittweise verschärfen
• Gleiche Formparameter (s=1) für alle Zielgrößen verwenden wenn einige viel kritischer sind — s für kritische Zielgrößen erhöhen, um Abweichungen vom Ziel stärker zu bestrafen
• Ignorieren, dass Gesamt-D = 0 wenn eine einzelne d = 0 ist — wenn eine Zielgröße vollständig inakzeptabel ist, bricht die Gesamtzufriedenheit zusammen unabhängig wie gut die anderen sind; sicherstellen dass alle Grenzen erreichbar sind
• Zufriedenheit ohne Berücksichtigung von Faktor-Wechselwirkungen optimieren — Zufriedenheitsscores werden aus beobachteten Werten berechnet; für Vorhersagen Zufriedenheit mit Response-Surface-Modellen kombinieren
• Zufriedenheit als absolute Kennzahl behandeln — D = 0,7 ist nicht inhärent gut oder schlecht; es hängt von der Strenge der Grenzen und Formparameter ab; D für Vergleiche zwischen Alternativen verwenden, nicht als eigenständiges Akzeptanzkriterium

Ergebnisse interpretieren

• Gesamt-D = 0 — mindestens eine Zielgröße liegt vollständig außerhalb der akzeptablen Grenzen; die Lösung ist nicht machbar
• Gesamt-D = 0,01-0,3 — die meisten Zielgrößen sind weit von ihren Idealwerten entfernt; erhebliche Prozessverbesserung nötig
• Gesamt-D = 0,3-0,6 — eine Kompromisslösung existiert aber mit erheblichen Trade-offs; untersuchen welche Zielgröße D herunterzieht
• Gesamt-D = 0,6-0,8 — eine gute Lösung die die meisten Anforderungen gut erfüllt; Feinabstimmung kann einzelne Zielgrößen verbessern
• Gesamt-D > 0,8 — ausgezeichnet; alle Zielgrößen sind gleichzeitig nahe an ihren Idealwerten; diese Lösung ist ein starker Kandidat für die Umsetzung

Zugehörige Normen & Referenzen

• Derringer & Suich (1980), Journal of Quality Technology — Die Originalarbeit zu den hier implementierten Wünschbarkeitsfunktionen und ihrer Kombination per geometrischem Mittel
• Harrington (1965), Industrial Quality Control — Das frühere Wünschbarkeitskonzept, das Derringer und Suich mit Formparametern verallgemeinerten
• NIST/SEMATECH e-Handbook §5.5.3 — Leitfaden zur Optimierung mehrerer Zielgrößen mit dem Wünschbarkeitsansatz
• Montgomery, Design and Analysis of Experiments — Standardlehrbuch zur Mehrgrößenoptimierung mit Wünschbarkeitsfunktionen nach RSM

Häufig gestellte Fragen

Wie lege ich die Formparameter (s1, s2) fest?

Die Form s=1 ergibt eine lineare Erwünschtheit (gleiche Gewichtung über den gesamten Bereich). s<1 (z. B. 0.5) erleichtert das Erreichen hoher Erwünschtheitswerte — geeignet, wenn Sie Abweichungen gegenüber recht tolerant sind. s>1 (z. B. 2 oder 3) erschwert hohe Erwünschtheitswerte — geeignet für kritische Zielgrößen, bei denen die Nähe zum Zielwert stark ins Gewicht fällt. Die meisten Anwender beginnen mit s=1 und passen den Wert nach ingenieurmäßigem Ermessen an.

Warum wird das geometrische statt des arithmetischen Mittels verwendet?

Das geometrische Mittel stellt sicher, dass eine einzelne Zielgröße mit d=0 (völlig unannehmbar) die Gesamterwünschtheit auf 0 zieht — eine verfehlte Zielgröße lässt sich nicht durch hervorragende Werte bei den übrigen ausgleichen. Das arithmetische Mittel würde solche Kompromisse zulassen und könnte damit einen kritischen Qualitätsmangel verdecken. Diese „Vetowirkung“ macht das geometrische Mittel zur richtigen Wahl für die Optimierung mehrerer Zielgrößen.