정규성 검정

정규성 검정이란?

관리도, 공정능력지수(Cpk/Ppk), t-검정, ANOVA를 비롯한 많은 통계 기법은 데이터가 정규(가우스)분포를 따른다고 가정합니다. 정규성 검정은 이러한 기법을 적용하기 전에 그 가정이 성립하는지 확인하는 절차입니다. 정규성이 무너진 상태로 분석하면 신뢰구간, 공정능력 추정값, 가설검정 결론이 모두 어긋날 수 있습니다.

샤피로-윌크 검정은 표본이 작거나 중간 규모(n < 5000)일 때 검정력이 가장 높은 정규성 검정입니다. 앤더슨-달링 검정은 꼬리 부분의 이탈에 민감해 신뢰성이나 극값 분석에 유용합니다. 자크-베라 검정은 왜도와 첨도를 살피며 표본이 클 때 잘 작동합니다.

모든 검정은 동일한 가설 구조를 갖습니다. H₀(귀무가설) = 데이터가 정규분포를 따른다, H₁ = 데이터가 정규분포를 따르지 않는다. p 값 < α(보통 0.05)이면 정규성을 기각합니다. QQ 플롯은 이를 시각적으로 확인해 주는데, 점들이 대각선 위에 놓이면 정규성을 뒷받침하고 체계적인 이탈은 비정규성의 양상을 드러냅니다.

Formula: Shapiro-Wilk: W = (Σ aᵢ x(ᵢ))² / Σ(xᵢ - x̄)² Anderson-Darling: A² = -n - Σ[(2i-1)/n](ln F(x(ᵢ)) + ln(1-F(x(n+1-i)))) reported as A*² = A²(1 + 0.75/n + 2.25/n²) Jarque-Bera: JB = (n/6)(S² + K²/4) where S = skewness, K = excess kurtosis Reject normality if p-value < α (typically 0.05)

계산 예시

측정값 20개를 검정한 결과입니다. 샤피로-윌크 W = 0.965, p = 0.42, 앤더슨-달링 A² = 0.31, p = 0.52, 자크-베라 JB = 1.2, p = 0.55. 모든 p 값이 0.05보다 크므로 정규성을 기각하지 못합니다. QQ 플롯에서도 점들이 대각선을 가깝게 따라갑니다. 이 데이터는 정규분포로 취급할 수 있습니다.

이 계산기를 사용하는 경우

• Cpk 또는 Ppk 계산 전 — 공정 능력 지수는 정규 데이터를 가정; 비정규 데이터는 변환 또는 대체 방법 필요
• t-검정 또는 ANOVA 수행 전 — 이러한 모수 검정은 정규 분포된 잔차를 가정; 위반 시 신뢰구간 정확도에 영향
• SPC 관리도 설정 시 — 표준 관리도 한계는 정규성을 가정; 유의하게 비정규인 데이터는 다른 관리도 유형 필요
• 데이터가 이상해 보이는 수입 검사 시 — 정규성 검정은 분포가 이동했는지 또는 다른 분포 모델이 필요한지 판단에 도움
• 회귀 분석을 위한 데이터 준비 시 — 잔차의 정규성 확인이 회귀 모델의 기본 가정을 검증

흔한 실수

• 매우 큰 표본에서 p값만으로 정규성 거부 — n > 500이면 검정이 실제적 영향이 없는 사소한 정규성 이탈을 감지; 시각적 판단을 위해 항상 QQ-플롯 사용
• 소표본(n < 20)에서 확인 없이 정규성 수용 — 소표본에서 검정은 검정력이 낮아 정규성의 의미 있는 이탈을 감지하지 못할 수 있음
• 정수 또는 심하게 반올림된 데이터에 정규성 검정 적용 — 이산 데이터나 고유값이 적은 데이터는 기반 공정이 정규이더라도 정규성 검정에 실패할 수 있음; 측정 해상도가 적절한지 확인
• 잔차를 검정해야 할 때 원시 데이터 검정 — 회귀 및 ANOVA의 경우 원시 데이터가 아닌 잔차가 정규 분포되어야 함

결과 해석 방법

• 모든 검정에서 p > 0.05이고 QQ-플롯이 선형 — 데이터가 정규성과 일치; 모수 방법 및 표준 능력 분석 진행
• 검정에서 p < 0.05이지만 QQ-플롯이 대략 선형 — 대표본에서 사소한 이탈도 유의한 p값 생성 가능; QQ-플롯이 거의 선형이면 대부분의 실용 목적에 정규성 충분
• QQ-플롯이 S자형 곡선 — 데이터가 정규보다 무거운 꼬리(첨도); t-분포 또는 강건한 방법 고려
• QQ-플롯이 체계적 곡률(오목 또는 볼록) — 데이터가 편향됨; 로그 또는 Box-Cox 변환 시도
• 서로 다른 검정이 불일치 — Shapiro-Wilk가 일반 용도로 가장 신뢰할 수 있음; Anderson-Darling은 꼬리가 중요할 때(신뢰성) 최적; QQ-플롯을 시각적 중재자로 사용

관련 표준 및 참고문헌

• ISO 5479 — 데이터의 통계적 해석: 정규분포 이탈 검정, 정규성 검정 방법론을 다루는 국제 표준
• Shapiro & Wilk (1965), Biometrika — 여기에 구현된 W 통계량을 처음 제안한 원저 논문
• NIST/SEMATECH e-Handbook §1.3.5 — Anderson-Darling 검정과 정규 확률(Q-Q) 플롯의 참조 절차
• Jarque & Bera (1987), International Statistical Review — 큰 표본에 사용되는 왜도-첨도 기반 정규성 검정
• AIAG SPC Reference Manual — Cpk·Ppk 등 공정능력지수 계산 전에 정규성 확인을 요구

자주 묻는 질문

데이터가 정규성 검정을 통과하지 못하면 어떻게 해야 하나요?

다음과 같은 방법이 있습니다. (1) 로그, 박스-칵스, 존슨 변환으로 데이터를 변환해 정규성을 확보합니다. (2) 정규성을 가정하지 않는 비모수 기법을 사용합니다(예: t-검정 대신 만-휘트니 검정). (3) 데이터를 더 잘 설명하는 다른 분포(와이블, 로그정규 등)를 적합시킵니다. (4) 표본이 크면(n > 30) 중심극한정리 덕분에 평균 기반 검정에서는 정규성 위반의 영향이 크지 않은 경우가 많습니다.

정규성 검정마다 결과가 다르게 나오는 이유는 무엇인가요?

검정마다 비정규성의 서로 다른 측면에 민감하기 때문입니다. 샤피로-윌크는 다양한 형태의 이탈을 탐지하는 종합 검정력이 가장 좋습니다. 앤더슨-달링은 꼬리 쪽 이탈을 중시하므로 신뢰성 분야에서 중요합니다. 자크-베라는 왜도와 첨도에 초점을 둡니다. 경계선에 걸친 데이터에서는 한 검정만 기각하고 다른 검정은 기각하지 않을 수 있습니다. 이럴 때는 QQ 플롯을 시각적 판단 기준으로 삼으십시오.