Máy tính độ võng của dầm

Độ võng của dầm được tính như thế nào?

Khi một dầm chịu tải ngang, nó bị uốn cong, và chuyển vị đi xuống lớn nhất chính là độ võng lớn nhất δ. Đối với một dầm đàn hồi, lăng trụ, độ võng tuân theo các nghiệm dạng đóng của phương trình dầm Euler–Bernoulli: nó tăng theo tải và theo nhịp lũy thừa bốn (tải phân bố) hoặc lũy thừa ba (tải tập trung), và giảm theo độ cứng uốn EI, tích của mô đun đàn hồi E và mô men quán tính I.

Điều kiện gối tựa quyết định cả hệ số độ võng lẫn vị trí xuất hiện giá trị đỉnh. Một dầm gối tựa đơn chịu tải phân bố đều võng 5wL⁴/384EI tại giữa nhịp; một dầm công xôn chịu cùng tải võng wL⁴/8EI tại đầu tự do — lớn hơn hơn mười hai lần, vì dầm công xôn bị ràng buộc kém hơn nhiều. Ngàm cả hai đầu là trường hợp cứng nhất (wL⁴/384EI). Một tải tập trung ở giữa cho PL³/48EI (gối tựa đơn), PL³/3EI (công xôn), hoặc PL³/192EI (ngàm). Tải kết hợp là tổng chính xác của cả hai, vì phản ứng là tuyến tính.

Độ võng là kiểm tra khả năng sử dụng, không phải kiểm tra độ bền: một dầm có thể hoàn toàn an toàn không bị phá hoại nhưng vẫn võng đủ nhiều để làm nứt lớp hoàn thiện, rung động hoặc trông đáng lo ngại. Do đó các tiêu chuẩn giới hạn độ võng ở một phần của nhịp, chẳng hạn L/360 cho sàn hoặc L/240 cho mái. Máy tính này báo cáo δ, giá trị cho phép theo tỷ số nhịp, và tỷ số của chúng, đồng thời vẽ hình dạng đường võng để bạn thấy được dầm võng ở đâu và bao nhiêu.

Formula: EI = E x I (flexural stiffness) delta_uniform = c_u x w x L^4 / (E x I) delta_point = c_p x P x L^3 / (E x I) simple: c_u = 5/384, c_p = 1/48 cantilever: c_u = 1/8, c_p = 1/3 fixed: c_u = 1/384, c_p = 1/192 delta_allowable = L / n utilization = delta / delta_allowable

Ví dụ tính toán

Một dầm thép gối tựa đơn (E = 200 GPa), nhịp L = 2000 mm, I = 1×10⁷ mm⁴, tải phân bố đều w = 10 N/mm. δ = 5·10·2000⁴/(384·200000·1×10⁷) = 1,04 mm tại giữa nhịp. Giá trị cho phép L/360 là 2000/360 = 5,56 mm, nên mức sử dụng là 1,04/5,56 = 19% — nằm rõ trong giới hạn.

Khi nào nên dùng máy tính này

• Kiểm tra xem một dầm, trục, giá đỡ hoặc ray máy có võng trong giới hạn chấp nhận được dưới tải hay không
• Chọn tiết diện: lặp lại mô men quán tính I cho đến khi độ võng đáp ứng L/360, L/240 hoặc giới hạn riêng của bạn
• So sánh các gối tựa — xem một dầm ngàm hai đầu hoặc nhịp ngắn hơn giảm độ võng bao nhiêu so với dầm gối tựa đơn hoặc dầm công xôn
• Ước lượng độ võng của một tay đòn công xôn, kệ hoặc dầm cầu trục trước khi phân tích chi tiết
• Kiểm tra khả năng sử dụng sơ bộ nhanh cho các dầm kết cấu hoặc cơ khí trước khi phân tích FEA hoặc kiểm tra đầy đủ theo tiêu chuẩn

Những lỗi thường gặp cần tránh

• Nhầm lẫn độ bền với độ cứng — vượt qua giới hạn độ võng không có nghĩa là dầm đủ bền; hãy kiểm tra ứng suất uốn riêng biệt
• Dùng đơn vị nhất quán — E tính bằng MPa, I bằng mm⁴, nhịp bằng mm, w bằng N/mm và P bằng N sẽ cho độ võng bằng mm; trộn lẫn mét và milimét là lỗi phổ biến nhất
• Dùng sai mô men quán tính — dùng I quanh trục uốn (trục trung hòa), và chỉ dùng I nhỏ nhất nếu dầm có thể uốn theo hướng đó
• Giả định rằng điểm tải đặt lệch tâm — công cụ này đặt tải tập trung tại vị trí lớn nhất chuẩn tắc; một tải thực sự lệch tâm cần một công thức khác
• Quên rằng gối tựa thực sự quan trọng — một dầm công xôn võng nhiều gấp nhiều lần so với một dầm gối tựa đơn có cùng nhịp và tải

Cách diễn giải kết quả

• Độ võng lớn nhất (δ) là chuyển vị đi xuống lớn nhất của dầm dưới tải, tại vị trí được đánh dấu
• Độ võng cho phép là nhịp chia cho tỷ số đã chọn (L/360, L/240, …) — ngưỡng trần khả năng sử dụng
• Mức sử dụng là δ chia cho giá trị cho phép; dưới 100% dầm đạt, trên 100% dầm không đạt giới hạn
• Đường cong hình dạng võng cho thấy dầm võng ở đâu và bao nhiêu — chỗ lõm sâu nhất tại vị trí độ võng lớn nhất
• Kết quả không đạt nghĩa là hãy tăng độ cứng (tiết diện cao hơn, I lớn hơn), rút ngắn nhịp hoặc giảm tải — độ võng tỷ lệ với L⁴ nên thay đổi nhịp có tác động lớn nhất

Tiêu chuẩn & tài liệu tham khảo liên quan

• AISC 360 / Steel Construction Manual — giới hạn độ võng khả năng sử dụng cho dầm thép
• IBC / ASCE 7 — Bảng 1604.3 giới hạn độ võng (L/360, L/240, L/180) cho sàn và mái
• Eurocode (EN 1990 / EN 1993) — các trạng thái giới hạn khả năng sử dụng và tiêu chí độ võng
• Roark's Formulas for Stress and Strain — bảng độ võng dầm dạng đóng cho các gối tựa và tải chuẩn

Câu hỏi thường gặp

Giới hạn độ võng khả năng sử dụng như L/360 là gì?

Nó giới hạn độ võng lớn nhất bằng nhịp chia cho một con số. L/360 nghĩa là một nhịp 3600 mm được phép võng nhiều nhất 10 mm. Các giới hạn bảo vệ chống nứt vữa, sàn rung, đọng nước trên mái, và đơn giản là tránh vẻ đáng lo ngại của một dầm võng lộ rõ. Các giá trị phổ biến là L/360 cho sàn dưới hoạt tải, L/240 cho tổng tải, và L/180 cho mái — hãy kiểm tra tiêu chuẩn áp dụng để biết yêu cầu chính xác.

Tại sao độ võng phụ thuộc vào I chứ không chỉ vào chiều cao dầm?

Độ võng tỷ lệ nghịch với mô men quán tính I, đại lượng tăng theo lũy thừa ba của chiều cao tiết diện. Tăng gấp đôi chiều cao của một tiết diện chữ nhật làm I tăng gấp tám lần và giảm độ võng còn một phần tám, trong khi tăng gấp đôi chiều rộng chỉ giảm độ võng đi một nửa. Đó là lý do dầm được làm cao thay vì rộng — chiều cao mang lại độ cứng hiệu quả hơn nhiều so với chiều rộng hay vật liệu.

Tải tập trung tác dụng ở đâu trong máy tính này?

Tải tập trung được đặt tại vị trí độ võng lớn nhất chuẩn tắc cho mỗi gối tựa: giữa nhịp đối với dầm gối tựa đơn và dầm ngàm hai đầu, và đầu tự do đối với dầm công xôn. Đây là trường hợp bất lợi nhất và là trường hợp được lập bảng trong sách giáo khoa. Tải tập trung đặt lệch tâm, có độ võng đỉnh nằm giữa vị trí tải và giữa nhịp, được hoãn lại trong phiên bản này thay vì tính gần đúng.

Một dầm vượt qua kiểm tra độ võng thì có đủ bền không?

Không nhất thiết — chúng là các kiểm tra riêng biệt. Độ võng là khả năng sử dụng (độ cứng); độ bền là việc ứng suất uốn có nằm dưới giá trị cho phép hay không. Một dầm thấp có thể bền nhưng quá mềm, hoặc một dầm ngắn và cao có thể cứng nhưng quá ứng suất. Hãy luôn kiểm tra ứng suất uốn và cắt riêng biệt; công cụ này chỉ xét độ võng.