Regressionsrechner

Was ist lineare Regression?

Lineare Regression passt eine Gerade y = mx + b an beobachtete (x, y)-Daten an, indem die Summe der quadrierten Residuen minimiert wird. Die OLS-Methode erzeugt den besten linearen unverzerrten Schätzer.

Die Steigung (m) gibt die Änderung von y bei Erhöhung von x um eine Einheit an. Der Achsenabschnitt (b) ist der vorhergesagte y-Wert bei x = 0. R² misst den Anteil der erklärten Varianz.

Voraussetzungen: lineare Beziehung, Homoskedastizität, Unabhängigkeit der Beobachtungen, annähernd normalverteilte Residuen.

Formula: y = mx + b m = [nΣxᵢyᵢ − ΣxᵢΣyᵢ] / [nΣxᵢ² − (Σxᵢ)²] b = ȳ − m·x̄ R² = 1 − Σ(yᵢ − ŷᵢ)² / Σ(yᵢ − ȳ)²

Berechnungsbeispiel

Daten: (1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5). n=5, Σx=15, Σy=20, Σxy=66, Σx²=55. m = (5×66 − 15×20)/(5×55 − 225) = (330−300)/(275−225) = 30/50 = 0,6. b = 4 − 0,6×3 = 2,2. Gleichung: y = 0,6x + 2,2. R² = 0,6.

Wann diesen Rechner verwenden

• Ein Wissenschaftler, der die Beziehung zwischen einer unabhängigen Variablen und einem gemessenen Ergebnis in Versuchsdaten quantifiziert
• Ein Business-Analyst, der ein einfaches Vorhersagemodell erstellt, um künftige Umsätze auf Basis der Werbeausgaben zu schätzen
• Ein Qualitätsingenieur, der per Regression die Korrelation zwischen einem Prozessparameter und einer Produktspezifikation bestimmt
• Ein Student, der die Grundlagen der Regression erlernt, indem er Geraden an Datensätze anpasst und Steigungen, Achsenabschnitte und R-Quadrat-Werte interpretiert

Häufige Fehler vermeiden

• Annehmen, dass Korrelation Kausalität beweist — eine starke lineare Beziehung zwischen zwei Variablen beweist nicht, dass die eine die andere verursacht; Störvariablen können verantwortlich sein
• Weit über den Datenbereich hinaus extrapolieren — das lineare Modell ist nur innerhalb des beobachteten x-Bereichs validiert; Vorhersagen außerhalb dieses Bereichs sind unzuverlässig und zunehmend ungenau
• Residuenmuster ignorieren — zeigen die Residuen ein systematisches Muster (z. B. U-Form), ist das lineare Modell unzureichend und ein nichtlineares Modell sollte erwogen werden
• Sich allein auf R-Quadrat zur Beurteilung der Modellqualität verlassen — ein niedriges R-Quadrat entkräftet die Beziehung nicht, und ein hohes R-Quadrat bestätigt sie nicht; prüfen Sie stets Annahmen und Residuen

Ergebnisse interpretieren

• Die Steigung (m) gibt an, um wie viel sich y pro Einheitszunahme von x ändert — eine Steigung von 2.5 bedeutet, dass y um 2.5 Einheiten pro 1-Einheit-Zunahme von x steigt
• Ein R-Quadrat von 0.85 bedeutet, dass 85 % der Variation in y durch x erklärt wird — die verbleibenden 15 % sind auf andere Faktoren oder Rauschen zurückzuführen
• Ist der Achsenabschnitt (b) negativ oder unplausibel groß, kann dies darauf hindeuten, dass das lineare Modell nahe x = 0 nicht gilt — der Achsenabschnitt ist nur aussagekräftig, wenn x = 0 im Datenbereich liegt

Verwandte Normen und Referenzen

• Legendre, A.-M. (1805), Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes — Erstveröffentlichung der Methode der kleinsten Quadrate
• Draper & Smith, Applied Regression Analysis (Wiley) — klassische Referenz für Kleinste-Quadrate-Anpassung und Residuendiagnostik
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (Abschnitt 4, Prozessmodellierung) — praktischer Leitfaden zu linearer Regression und Modellvalidierung

Häufig gestellte Fragen

Was sagt R² und was ist ein 'guter' Wert?

R² gibt den Anteil der erklärten Varianz an. Naturwissenschaften: R² > 0,95 üblich. Sozialwissenschaften: 0,3-0,7 akzeptabel. Hohes R² beweist keine Kausalität.

Kann man lineare Regression für nichtlineare Daten verwenden?

Nicht direkt. Bei gekrümmten Beziehungen polynomiale Regression oder logarithmische Transformation erwägen. Residuenplots zeigen Nichtlinearität.