Interpolationsrechner

Was ist Interpolation?

Interpolation schätzt unbekannte Werte zwischen bekannten Datenpunkten durch Annahme einer glatten Beziehung. Lineare Interpolation zieht eine Gerade zwischen benachbarten Punkten.

Bei Ziel-x zwischen (x₁, y₁) und (x₂, y₂): y = y₁ + (x − x₁)×(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

Extrapolation erweitert die Schätzung über den Datenbereich hinaus. Die Genauigkeit kann schnell abnehmen.

Formula: y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) wobei (x₁, y₁) und (x₂, y₂) die einschließenden Datenpunkte sind und x₁ ≤ x ≤ x₂ für die Interpolation gilt

Berechnungsbeispiel

Bekannte Punkte: (10, 50) und (20, 100). Bei x = 15: y = 75. Bei x = 25 (Extrapolation): y = 125.

Wann diesen Rechner verwenden

• Ein Ingenieur, der einen Wert zwischen Einträgen einer Kalibriertabelle oder eines Werkstoffkennwertdiagramms nachschlägt
• Ein Wissenschaftler, der eine Messgröße an einem Punkt zwischen beobachteten Datenproben schätzt, ohne ein vollständiges Regressionsmodell anzupassen
• Ein Techniker, der zwischen den Linien eines Druck-Temperatur-Diagramms oder einer Sensorkalibrierkurve abliest
• Ein Datenanalyst, der fehlende Werte in einer Zeitreihe ergänzt, bei der die umgebenden Datenpunkte bekannt und zuverlässig sind

Häufige Fehler vermeiden

• Annehmen, dass lineare Interpolation für nichtlineare Beziehungen genau ist — krümmt sich die zugrunde liegende Funktion zwischen den Datenpunkten erheblich, führt lineare Interpolation zu Fehlern; verwenden Sie mehr Datenpunkte oder Interpolation höherer Ordnung
• Extrapolierten Werten dasselbe Vertrauen wie interpolierten Werten entgegenbringen — die Extrapolationsgenauigkeit verschlechtert sich außerhalb des Datenbereichs rapide; kennzeichnen Sie extrapolierte Ergebnisse stets und validieren Sie sie anhand von Fachwissen
• Interpolation auf verrauschte Daten anwenden — die Interpolation verläuft durch jeden Datenpunkt, einschließlich des Rauschens; enthalten die Daten Messfehler, ist eine Regression (die das Rauschen glättet) besser geeignet
• Daten vor der Interpolation nicht nach x-Werten sortieren — der Algorithmus benötigt geordnete Daten, um das korrekte einschließende Intervall zu finden; unsortierte Daten liefern falsche Ergebnisse

Ergebnisse interpretieren

• Erscheint die Extrapolationswarnung, behandeln Sie das Ergebnis nur als grobe Schätzung — je weiter das Ziel-x vom Datenbereich entfernt ist, desto unzuverlässiger das Ergebnis
• Bei gut verteilten Daten mit glatter zugrunde liegender Beziehung ist die lineare Interpolation typischerweise auf wenige Prozent des wahren Werts genau
• Wenn Sie zwischen weit auseinanderliegenden Punkten höhere Genauigkeit benötigen, erwägen Sie, weitere Datenpunkte im interessierenden Bereich zu erfassen, statt sich auf die Interpolation zu verlassen

Verwandte Normen und Referenzen

• Burden & Faires, Numerical Analysis (Cengage) — Standardlehrbuch zu polynomialer und stückweise linearer Interpolation mit Fehlerschranken
• Press, Teukolsky, Vetterling & Flannery, Numerical Recipes (Cambridge University Press) — praxisnahe Interpolations- und Extrapolationsalgorithmen und ihre Fallstricke

Häufig gestellte Fragen

Interpolation oder Regression?

Interpolation bei exakten Datenpunkten (Kalibrierungstabellen). Regression bei verrauschten Daten. Interpolation geht durch alle Punkte, Regression möglicherweise nicht.

Wie zuverlässig ist Extrapolation?

Inhärent riskant. Kurze Extrapolation (~10 % des Bereichs) kann vertretbar sein. Größere Extrapolationen mit Fachwissen validieren.