Eigenfrequenz-Rechner

Was ist die Eigenfrequenz und warum ist sie wichtig?

Die Eigenfrequenz ist die Frequenz, mit der eine Struktur nach einer Anregung frei schwingt. Stimmt eine äußere Anregungsfrequenz mit der Eigenfrequenz überein, tritt Resonanz auf — die Amplituden wachsen dramatisch an und können zu katastrophalem Versagen führen. Jede rotierende Maschine, jeder Balken, jede Welle und jede Struktur besitzt Eigenfrequenzen, die identifiziert und vermieden werden müssen.

Bei Balken hängt die Eigenfrequenz von den Randbedingungen (Kragbalken, gelenkig gelagert, beidseitig eingespannt), der Werkstoffsteifigkeit (Elastizitätsmodul E), dem Flächenträgheitsmoment (I), der Masse pro Längeneinheit und der Spannweite ab. Die Euler-Bernoulli-Balkengleichung liefert Eigenformen und Frequenzen. Höhere Moden haben zunehmend höhere Frequenzen.

In der Praxis sollte die Betriebsdrehzahl mindestens 20% von jeder Eigenfrequenz entfernt liegen (darüber oder darunter). Eine Analyse der kritischen Drehzahl ist für schnelllaufende Wellen, Turbinen und Verdichter zwingend. Für komplexe Geometrien wird die Finite-Elemente-Analyse (FEA) eingesetzt. Zu beachten: Dieser Abstand ist eine Auslegungsrichtlinie zur Resonanzvermeidung, zu unterscheiden von den Schwingstärkegrenzwerten nach ISO 10816, die gemessene Schwingungen an laufenden Maschinen klassifizieren statt vorhergesagte Eigenfrequenzen.

Formula: Feder-Masse: fn = (1/2π) × √(k/m) Kragbalken: fn = (λn²/2πL²) × √(EI/ρA), λ₁=1.875 Gelenkig gelagert: fn = (nπ/2L²) × √(EI/ρA) Welle-Scheibe: fn = (1/2π) × √(GJ/(L×Ip)), Ip=½mr²

Berechnungsbeispiel

Ein Kragbalken aus Stahl: L = 500 mm, Rechteckquerschnitt 20×10 mm. E = 200 GPa, ρ = 7850 kg/m³. I = 20×10³/12 = 1667 mm⁴. A = 200 mm². fn₁ = (1.875²)/(2π×0.5²) × √(200e9×1.667e-9/(7850×2e-4)) = 32,62 Hz.

Wann diesen Rechner verwenden

• Auslegung einer Welle für einen Motor oder eine Pumpe mit Überprüfung, dass die Betriebsdrehzahl mindestens 20% von der kritischen Drehzahl entfernt liegt
• Fehlersuche bei übermäßigen Schwingungen rotierender Maschinen — Prüfung, ob die Betriebsfrequenz nahe einer Eigenfrequenz liegt
• Dimensionierung einer Halterung oder Tragstruktur, um sicherzustellen, dass ihre Eigenfrequenz oberhalb der Anregungsfrequenz benachbarter Anlagen liegt
• Durchführung einer überschlägigen dynamischen Analyse, bevor eine vollständige FEM-Modalanalyse beauftragt wird

Häufige Fehler vermeiden

• Verwendung der falschen Randbedingung — ein scheinbar gelenkig gelagerter Balken kann tatsächlich teilweise eingespannt sein, was die Eigenfrequenz erheblich verändert
• Ignorieren höherer Moden — die Grundfrequenz ist wichtig, aber auch die 2. und 3. Mode können bei der 2- und 3-fachen Betriebsdrehzahl Resonanz verursachen
• Vernachlässigung der Eigenmasse von Balken/Welle — bei leichten Wellen mit schweren Anbaukomponenten mag die Balkenmasse vernachlässigbar sein, bei gleichförmigen Balken ist sie jedoch die dominierende Masse
• Annahme, der Betrieb unterhalb der ersten Eigenfrequenz sei stets sicher — Subharmonische, Fluchtungsfehler und Lagerschadensfrequenzen können Resonanz bei Bruchteilen der Eigenfrequenz anregen

Ergebnisse interpretieren

• Liegt die Betriebsdrehzahl innerhalb von 20% einer Eigenfrequenz, ist eine Neukonstruktion erforderlich — entweder die Struktur versteifen (Frequenz erhöhen) oder Masse hinzufügen (Frequenz senken), um sich von der Resonanz zu entfernen
• Ein Frequenzverhältnis (Betrieb/Eigenfrequenz) zwischen 0,7 und 1,3 ist die Gefahrenzone, in der die Vergrößerungsfaktoren 3× übersteigen
• Mehrere dicht beieinanderliegende Moden weisen auf das Risiko gekoppelter Schwingungen hin — in diesem Fall sollte eine vollständige FEM-Modalanalyse erwogen werden
• Eine sehr niedrige Eigenfrequenz (<5 Hz) deutet darauf hin, dass die Struktur für Präzisionsmaschinenanwendungen zu nachgiebig sein könnte

Relevante Normen & Referenzen

• ISO 10816 — Mechanische Schwingungen — Bewertung der Schwingungen von Maschinen durch Messungen an nicht rotierenden Teilen (Schwingstärke-Grenzwerte für gemessene Schwingungen; dieser Rechner sagt Eigenfrequenzen voraus, eine andere Größe)
• ISO 1940-1 — Mechanische Schwingungen — Anforderungen an die Auswuchtgüte von Rotoren
• API 610 — Kreiselpumpen (einschließlich Anforderungen an die kritische Drehzahl)
• API 617 — Axial- und Radialverdichter (Anforderungen an Lateral- und Torsionsschwingungsanalysen)

Häufig gestellte Fragen

Wie vermeide ich Resonanz bei rotierenden Maschinen?

Berechnen Sie zunächst die Eigenfrequenzen von Welle, Lagern und Tragstruktur. Stellen Sie sicher, dass die Betriebsdrehzahl mindestens ±20 % von jeder Eigenfrequenz entfernt liegt. Lässt sich Resonanz beim Hoch- oder Auslaufen nicht vermeiden, durchfahren Sie sie zügig. Fügen Sie Dämpfung hinzu (Gummilager, Schwingungstilger), versteifen Sie die Struktur (Querschnitt vergrößern, Spannweiten verkürzen) oder ändern Sie die Massenverteilung.

Was ist der Unterschied zwischen Eigenfrequenz und kritischer Drehzahl?

Die Eigenfrequenz ist eine allgemeine Schwingungseigenschaft jeder Struktur. Die kritische Drehzahl bezieht sich speziell auf die Eigenfrequenz einer rotierenden Welle — die Drehzahl, bei der die Wellendurchbiegung infolge Resonanz theoretisch unendlich wird. Eine Welle, die oberhalb ihrer ersten kritischen Drehzahl betrieben wird, heißt 'überkritisch' und muss die kritische Drehzahl beim Hochfahren durchfahren. Überkritischer Betrieb ist bei Turbomaschinen üblich.

Wie beeinflusst die Dämpfung die Resonanzantwort?

Dämpfung reduziert die Amplitude bei Resonanz von theoretisch unendlich (ohne Dämpfung) auf einen endlichen Wert. Das Dämpfungsmaß ζ bestimmt den Vergrößerungsfaktor: Bei ζ = 0.01 (Stahlstruktur) beträgt die Überhöhung ~50×, bei ζ = 0.05 ~10×, bei ζ = 0.1 ~5×. Zusätzliche Dämpfung (Gummilager, Dämpfungsbeläge in Sandwichbauweise, Schwingungstilger) ist oft die praktikabelste Lösung, wenn eine Neuauslegung zur Frequenzvermeidung nicht machbar ist.