回帰分析計算機

x,yデータの線形回帰分析を実行. ペアのx,yデータに線形回帰モデル（y = mx + b）を適合し、傾き、切片、決定係数（R²）、回帰式を計算します。. 線形回帰は観測された(x, y)データに直線 y = mx + b…

ペアのx,yデータに線形回帰モデル（y = mx + b）を適合し、傾き、切片、決定係数（R²）、回帰式を計算します。

線形回帰とは？

線形回帰は観測された(x, y)データに直線 y = mx + b を当てはめ、残差の二乗和を最小化します。このOLS法はガウス・マルコフ仮定の下で最良線形不偏推定量を生成します。

傾き(m)はxが1単位増加したときのyの変化を表します。切片(b)はx = 0のときの予測y値です。決定係数(R²)はモデルが説明するyの分散の割合を測定します。

線形回帰は線形関係、等分散性、観測の独立性、ほぼ正規な残差を仮定します。これらの仮定の違反は偏った推定につながり得ます。

Formula: y = mx + b m = [nΣxᵢyᵢ − ΣxᵢΣyᵢ] / [nΣxᵢ² − (Σxᵢ)²] b = ȳ − m·x̄ R² = 1 − Σ(yᵢ − ŷᵢ)² / Σ(yᵢ − ȳ)²

計算例

データ: (1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5)。n=5、Σx=15、Σy=20、Σxy=66、Σx²=55。m = (5×66 − 15×20)/(5×55 − 225) = (330−300)/(275−225) = 30/50 = 0.6。b = 4 − 0.6×3 = 2.2。回帰式: y = 0.6x + 2.2。R² = 0.6。

この計算機を使うタイミング

実験データにおける独立変数と測定結果の関係を定量化する科学者
広告費に基づいて将来の売上を推定するシンプルな予測モデルを構築するビジネスアナリスト
回帰分析によって工程パラメータと製品規格の相関を明らかにする品質エンジニア
データセットに直線を当てはめ、傾き・切片・決定係数(R二乗)を解釈しながら回帰の基礎を学ぶ学生

よくある間違い

相関を因果の証明とみなす — 2変数間に強い線形関係があっても、一方が他方の原因であることの証明にはなりません。交絡変数が原因である可能性があります
データ範囲をはるかに超えて外挿する — 線形モデルは観測されたxの範囲内でのみ妥当性が確認されています。この範囲外の予測は信頼できず、離れるほど不正確になります
残差のパターンを無視する — 残差に系統的なパターン(例: U字型)が見られる場合、線形モデルは不適切であり、非線形モデルを検討すべきです
モデルの良し悪しをR二乗だけで判断する — R二乗が低くても関係が無効になるわけではなく、高くても関係が裏付けられるわけではありません。必ず前提条件と残差を確認してください

結果の解釈方法

傾き(m)は、xが1単位増えるごとにyがどれだけ変化するかを示します — 傾きが2.5なら、xが1単位増えるごとにyは2.5単位増加します
R二乗が0.85ということは、yの変動の85%がxで説明されることを意味します — 残りの15%は他の要因またはノイズによるものです
切片(b)が負であったり非現実的に大きかったりする場合、x = 0 付近では線形モデルが当てはまらない可能性があります — 切片は x = 0 がデータ範囲内にある場合にのみ意味を持ちます

よくある質問

R²は何を示し、良い値とは？

R²はモデルが説明する従属変数の分散割合です。自然科学ではR² > 0.95が一般的。社会科学では0.3-0.7が許容範囲です。高いR²は因果関係を証明しません。

非線形データに線形回帰を使えますか？

直接は不可能です。曲線的な関係には多項式回帰や対数変換を検討してください。残差プロットが非線形性を明らかにします。