压杆屈曲计算器（Euler）

计算轴向受压柱的 Euler 临界屈曲载荷，并进行长细比适用性校核. 计算 Euler 弹性临界载荷 Pcr = π²EI/(KL)²、长细比、临界应力，以及四种端部约束条件下的有效长度。它还会判断该柱是否足够细长以适用 Euler 公式——对于短柱，会警告应改由非弹性屈曲控制。v1 仅涵盖弹性 Euler…

计算 Euler 弹性临界载荷 Pcr = π²EI/(KL)²、长细比、临界应力，以及四种端部约束条件下的有效长度。它还会判断该柱是否足够细长以适用 Euler 公式——对于短柱，会警告应改由非弹性屈曲控制。v1 仅涵盖弹性 Euler 屈曲；适用范围详见注释。

压杆屈曲如何计算？

细长柱在轴向压缩下，可能远在材料屈服之前就发生破坏——一旦载荷达到临界值，它便会屈曲，向侧向弯曲。Euler 公式给出该弹性临界载荷：Pcr = π²EI/(KL)²，其中 E 为弹性模量，I 为最小（弱轴）截面惯性矩，L 为无支撑长度，K 为由端部支承确定的有效长度系数。

端部约束条件会改变屈曲形态，从而改变有效长度 KL。铰接-铰接柱在其全长范围内屈曲（K = 1）；两端固定会缩短有效长度（K = 0.5）并使承载力提高至四倍；固定-自由的悬臂柱则使有效长度加倍（K = 2），并在四分之一的载荷下屈曲。由于承载力与 1/(KL)² 成正比，约束和长度主导着计算结果。

Euler 公式仅在柱发生弹性屈曲时成立——即当其长细比 KL/r 高于过渡长细比 Cc = π√(2E/σy) 时。低于 Cc 时，短柱/粗短柱因非弹性屈曲或屈服而破坏，Euler 公式会高估承载力（当长细比 → 0 时，Pcr → ∞）。本计算器返回真实的 Euler 值，并在其不再适用时予以标示。

Formula: K = end-condition factor (pinned 1.0, fixed-fixed 0.5, fixed-free 2.0, fixed-pinned 0.7) Pcr = pi^2 x E x I / (K x L)^2 r = sqrt(I / A) lambda = K x L / r Cc = pi x sqrt(2 x E / sy)

计算示例

一根铰接-铰接的钢柱（E = 200 GPa），I = 5×10⁶ mm⁴，A = 5000 mm²，L = 5000 mm。r = √(I/A) = 31.6 mm，长细比 KL/r = 158，过渡长细比 Cc = π√(2·200000/250) = 126。由于 158 ≥ 126，该柱较为细长，故适用 Euler 公式：Pcr = π²·200000·5×10⁶/5000² ≈ 395 kN。

何时使用本计算器

校核受压构件——支撑、立柱、机器立柱或作动器杆——是否会在屈服之前先发生屈曲
比较各种端部约束方案，看增加支撑或固定端部能使屈曲承载力提高多少
为柱选型：迭代调整截面（I 与 A）或长度，直到临界载荷在留有安全系数的前提下安全地超过施加载荷
在别处进行手工 Euler 计算之前，确认构件足够细长以适用 Euler 公式
在进行详细规范校核或 FEA 之前，对框架、桁架、夹具和工装进行快速的首轮受压校核

应避免的常见错误

采用强轴截面惯性矩——柱会绕其最弱轴屈曲，因此除非该轴另有支撑，否则应采用最小的 I
忽视长细比限值——对粗短柱（KL/r < Cc）套用 Euler 公式会严重高估承载力；本工具会予以标示，切勿越限设计
臆测端部约束条件——真实的“固定”端很少是理想的；设计规范建议采用高于理论值的 K（例如用 0.65 代替 0.5）以考虑非理想固定
将 Pcr 当作容许载荷——它不含安全系数；应除以适当的安全系数或施加规范抗力系数
忘记使用无支撑长度——若柱在半高处对某一轴设有支撑，则该轴的有效长度减半

如何解读结果

临界载荷（Pcr）是理论弹性屈曲载荷——在与使用载荷比较之前应施加安全系数
长细比（KL/r）衡量柱发生屈曲的倾向；数值越高表示越细长，越受 Euler 屈曲控制
当长细比 ≥ 过渡值 Cc 时，该柱较为细长，Euler 公式有效；当低于该值时，“短柱”警告意味着由非弹性屈曲控制，Euler 公式高估承载力
临界应力为 Pcr/A——若其超过屈服强度，则柱会先屈服，这是弹性 Euler 公式不适用的又一信号
压溃载荷（Py = A·σy）是纯屈服承载力，也是短柱的上限；在非弹性区间内，真实破坏载荷介于 Euler 值与压溃值之间

常见问题

什么是有效长度系数 K？

K 根据端部约束方式，将实际柱长换算为其真正发生屈曲的长度。理论值为：铰接-铰接 1.0，固定-固定 0.5，固定-自由（悬臂）2.0，固定-铰接 0.7。由于承载力与 1/(KL)² 成正比，将有效长度减半（两端固定）会使屈曲载荷提高至四倍。

为什么计算器采用最小截面惯性矩？

柱会绕其最弱轴屈曲——即截面惯性矩 I 最小的那根轴。矩形或宽翼缘截面在一个方向上远比另一方向刚硬，因此采用弱轴 I 可给出控制性（最低）临界载荷。除非该柱在绕此轴屈曲方向上另有支撑，否则应输入最小的 I；若有支撑，则采用次大的 I。

“短柱——Euler 公式高估承载力”是什么意思？

Euler 公式假定柱在仍处于弹性状态时屈曲。对于粗短柱（长细比低于过渡值 Cc = π√(2E/σy)），应力在弹性屈曲之前便达到屈服，因此真实破坏载荷由非弹性屈曲或压溃控制——始终低于 Euler 值。本工具会予以标示，使你不会按柱永远无法达到的 Euler 载荷进行设计；此时应改用非弹性（Johnson）方法或压溃载荷。

此计算是否包含安全系数？

否。Pcr 是不含安全系数的理论临界载荷，且未考虑初始弯曲、载荷偏心或残余应力。请施加适当的安全系数（柱通常取 1.9–3.5），或采用你所用设计规范（AISC、Eurocode）的抗力系数，以得到容许载荷或设计载荷。