PCA Redução de Dimensões

O que é PCA?

PCA transforma variáveis correlacionadas em componentes principais não correlacionados. Cada componente captura a máxima variância restante. Os primeiros capturam tipicamente 80-95 % do total.

Calcula autovetores e autovalores da matriz de covariância. Autovetores definem direções, autovalores quantificam variância. Padronizar dados antes do PCA é comum.

O gráfico scree mostra autovalores vs componente. O biplot visualiza escores e cargas para interpretação.

Formula: Matriz de Covariância: C = (1/(n−1)) XᵀX (X centrado) Autodecomposição: C·v = λ·v Escores das PCs: Z = X·V Variância explicada = λₖ / Σλᵢ Padronizado (padrão): dividir primeiro cada coluna centrada pelo seu desvio-padrão — C passa a ser a matriz de correlação R e Σλᵢ = número de variáveis

Exemplo de cálculo

Cinco peças medidas em três dimensões em mm: comprimento 24/26/25/28/27, largura 35/35/37/38/40, altura 13/14/14/15/14. A matriz de covariância tem autovalores λ₁ = 6,21, λ₂ = 1,22, λ₃ = 0,07, variância total 7,50. PC1 explica 6,21/7,50 = 82,7 %, PC2 16,3 %, acumulado 99,0 % — manter 2 componentes reduz três dimensões a duas e preserva 99 % da variância. As três variáveis partilham a unidade, por isso a matriz de covariância é a correta; com unidades diferentes seria preciso padronizar antes, ou a de números maiores dominaria a PC1. Para reproduzir estes valores na calculadora, desmarque Padronizar variáveis — vem ativado por padrão e, nesse caso, decompõe a matriz de correlação.

Quando usar esta calculadora

• Um cientista de dados reduzindo um conjunto de variáveis de alta dimensão (50+ variáveis) a um número gerenciável de componentes antes de alimentar um modelo de machine learning
• Um pesquisador visualizando dados de alta dimensão em 2D ou 3D usando os primeiros 2-3 componentes principais para detectar padrões ou clusters
• Um engenheiro da qualidade identificando as principais fontes de variação em um processo de manufatura multivariável usando análise fatorial
• Um analista removendo a multicolinearidade das variáveis preditoras substituindo variáveis correlacionadas por componentes principais não correlacionados

Erros comuns a evitar

• Não padronizar os dados antes da PCA — variáveis com escalas maiores dominam a variância e o primeiro componente apenas reflete a variável de maior variância; sempre padronize para média zero e variância unitária
• Manter componentes de menos e perder informação importante — se a variância explicada acumulada está abaixo de 70%, sinal importante está sendo descartado; busque 80-95%
• Interpretar componentes principais como variáveis individuais — as PCs são combinações lineares de todas as variáveis originais; representam direções de variância máxima, não variáveis individuais
• Aplicar a PCA a dados com muito poucas observações em relação às variáveis — a PCA precisa de pelo menos tantas observações quanto variáveis (idealmente 5-10x) para produzir resultados estáveis

Como interpretar os resultados

• Se os primeiros 2-3 componentes explicam 80%+ da variância, seus dados são efetivamente de baixa dimensão e o biplot fornece um resumo significativo
• Cargas com valores absolutos altos indicam quais variáveis originais mais contribuem para cada componente — isso ajuda a interpretar o que o componente representa
• Grandes lacunas entre autovalores consecutivos no gráfico de escarpa (scree plot) indicam fronteiras naturais de dimensionalidade — os componentes após a lacuna contribuem principalmente com ruído

Normas e referências relacionadas

• Pearson, K. (1901), 'On Lines and Planes of Closest Fit to Systems of Points in Space', Philosophical Magazine — origem geométrica da análise de componentes principais
• Hotelling, H. (1933), 'Analysis of a Complex of Statistical Variables into Principal Components', Journal of Educational Psychology — formulação do PCA por maximização de variância
• Jolliffe, I. T., Principal Component Analysis (Springer) — referência moderna abrangente, incluindo regras de retenção de componentes

Perguntas frequentes

Padronizar antes do PCA?

Sim, quase sempre. Variáveis com diferentes unidades/escalas dominam o PCA. Padronizar para média 0 e variância 1.

Quantos componentes reter?

Até variância acumulada 80-95 %, 'cotovelo' do scree plot, ou regra de Kaiser (autovalor > 1).