เครื่องคำนวณการแอ่นตัวของคาน

การแอ่นตัวของคานคำนวณอย่างไร?

เมื่อคานรับน้ำหนักในแนวขวาง คานจะโก่งตัว และการเคลื่อนตัวลงมากที่สุดคือการแอ่นตัวสูงสุด δ สำหรับคานปริซึมแบบยืดหยุ่น การแอ่นตัวเป็นไปตามผลเฉลยรูปปิดของสมการคานออยเลอร์–แบร์นูลลี (Euler–Bernoulli) โดยเพิ่มขึ้นตามน้ำหนักและตามช่วงคานยกกำลังสี่ (แบบแผ่) หรือยกกำลังสาม (แบบจุด) และลดลงตามความแข็งเกร็งดัด EI ซึ่งเป็นผลคูณของโมดูลัสยืดหยุ่น E กับโมเมนต์ความเฉื่อย I

เงื่อนไขการรองรับกำหนดทั้งค่าสัมประสิทธิ์การแอ่นตัวและตำแหน่งที่เกิดค่าสูงสุด คานที่รองรับแบบง่ายภายใต้น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอจะแอ่นตัว 5wL⁴/384EI ที่กึ่งกลางช่วง ส่วนคานยื่นที่รับน้ำหนักเดียวกันจะแอ่นตัว wL⁴/8EI ที่ปลายอิสระ — มากกว่าถึงสิบสองเท่า เพราะคานยื่นถูกยึดรั้งน้อยกว่ามาก การยึดแน่นทั้งสองปลายเป็นกรณีที่แข็งเกร็งที่สุด (wL⁴/384EI) น้ำหนักกระทำเป็นจุดที่กึ่งกลางให้ค่า PL³/48EI (แบบง่าย) PL³/3EI (คานยื่น) หรือ PL³/192EI (ยึดแน่น) น้ำหนักแบบผสมคือผลรวมที่แน่นอนของทั้งสองกรณี เนื่องจากการตอบสนองเป็นเชิงเส้น

การแอ่นตัวเป็นการตรวจสอบด้านการใช้งาน ไม่ใช่ด้านความแข็งแรง คานอาจปลอดภัยอย่างสมบูรณ์จากการแตกหักแต่แอ่นตัวมากพอที่จะทำให้วัสดุตกแต่งแตกร้าว สั่นเด้ง หรือดูน่าตกใจ มาตรฐานจึงจำกัดการแอ่นตัวไว้ที่เศษส่วนหนึ่งของช่วงคาน เช่น L/360 สำหรับพื้น หรือ L/240 สำหรับหลังคา เครื่องคำนวณนี้รายงานค่า δ ค่าที่ยอมให้แบบช่วงคาน/อัตราส่วน และอัตราส่วนของทั้งสอง พร้อมวาดรูปทรงการแอ่นตัวเพื่อให้คุณเห็นว่าคานหย่อนตรงไหนและมากเพียงใด

Formula: EI = E x I (flexural stiffness) delta_uniform = c_u x w x L^4 / (E x I) delta_point = c_p x P x L^3 / (E x I) simple: c_u = 5/384, c_p = 1/48 cantilever: c_u = 1/8, c_p = 1/3 fixed: c_u = 1/384, c_p = 1/192 delta_allowable = L / n utilization = delta / delta_allowable

ตัวอย่างการคำนวณ

คานเหล็กที่รองรับแบบง่าย (E = 200 GPa) ช่วงคาน L = 2000 mm, I = 1×10⁷ mm⁴, น้ำหนักแผ่สม่ำเสมอ w = 10 N/mm δ = 5·10·2000⁴/(384·200000·1×10⁷) = 1.04 mm ที่กึ่งกลางช่วง ค่าที่ยอมให้แบบ L/360 คือ 2000/360 = 5.56 mm ดังนั้นอัตราการใช้งานคือ 1.04/5.56 = 19% — อยู่ในขีดจำกัดอย่างมาก

เมื่อใดควรใช้เครื่องคำนวณนี้

• ตรวจสอบว่าคาน เพลา ฉากยึด หรือรางเครื่องจักรแอ่นตัวอยู่ภายในขีดจำกัดที่ยอมรับได้ภายใต้น้ำหนักหรือไม่
• กำหนดขนาดหน้าตัด: ปรับค่าโมเมนต์ความเฉื่อย I ซ้ำจนกว่าการแอ่นตัวจะเป็นไปตาม L/360, L/240 หรือขีดจำกัดของคุณเอง
• เปรียบเทียบการรองรับ — ดูว่าการยึดแน่นสองปลายหรือช่วงคานที่สั้นกว่าลดการแอ่นตัวได้มากเพียงใดเมื่อเทียบกับคานแบบง่ายหรือคานยื่น
• ประมาณการหย่อนตัวของแขนยื่น ชั้นวาง หรือคานปั้นจั่นก่อนการวิเคราะห์โดยละเอียด
• การตรวจสอบด้านการใช้งานเบื้องต้นอย่างรวดเร็วสำหรับคานโครงสร้างหรือคานเครื่องกลก่อนทำ FEA หรือการตรวจสอบตามมาตรฐานเต็มรูปแบบ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่ควรหลีกเลี่ยง

• สับสนระหว่างความแข็งแรงกับความแข็งเกร็ง — การผ่านขีดจำกัดการแอ่นตัวไม่ได้หมายความว่าคานแข็งแรงเพียงพอ ให้ตรวจสอบหน่วยแรงดัดแยกต่างหาก
• ใช้หน่วยที่สอดคล้องกัน — E เป็น MPa, I เป็น mm⁴, ช่วงคานเป็น mm, w เป็น N/mm และ P เป็น N จะให้การแอ่นตัวเป็น mm การปนกันระหว่างเมตรกับมิลลิเมตรเป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด
• ใช้โมเมนต์ความเฉื่อยผิดค่า — ใช้ I รอบแกนดัด (แกนสะเทิน) และใช้ค่า I ที่น้อยที่สุดเฉพาะเมื่อคานสามารถดัดในทิศทางนั้นได้เท่านั้น
• สมมติว่าจุดรับน้ำหนักไม่อยู่กึ่งกลาง — เครื่องมือนี้วางน้ำหนักกระทำเป็นจุดไว้ที่ตำแหน่งค่าสูงสุดตามมาตรฐาน น้ำหนักที่ไม่อยู่กึ่งกลางจริง ๆ ต้องใช้สูตรอื่น
• ลืมว่าการรองรับมีความสำคัญมาก — คานยื่นแอ่นตัวมากกว่าคานที่รองรับแบบง่ายที่มีช่วงคานและน้ำหนักเดียวกันหลายเท่า

วิธีตีความผลลัพธ์

• การแอ่นตัวสูงสุด (δ) คือการเคลื่อนตัวลงมากที่สุดของคานภายใต้น้ำหนัก ณ ตำแหน่งที่ทำเครื่องหมายไว้
• การแอ่นตัวที่ยอมให้คือช่วงคานหารด้วยอัตราส่วนที่เลือก (L/360, L/240, …) — เพดานด้านการใช้งาน
• อัตราการใช้งานคือ δ หารด้วยค่าที่ยอมให้ ต่ำกว่า 100% คานผ่าน สูงกว่า 100% คานไม่ผ่านขีดจำกัด
• เส้นโค้งรูปทรงการแอ่นตัวแสดงว่าคานหย่อนตรงไหนและอย่างไร — จุดที่แอ่นลึกที่สุดอยู่ที่ตำแหน่งการแอ่นตัวสูงสุด
• ผลลัพธ์ที่ไม่ผ่านหมายถึงให้เพิ่มความแข็งเกร็ง (หน้าตัดลึกขึ้น, ค่า I มากขึ้น) ลดช่วงคาน หรือลดน้ำหนัก — การแอ่นตัวแปรตาม L⁴ ดังนั้นการเปลี่ยนช่วงคานจึงมีผลมากที่สุด

มาตรฐานและเอกสารอ้างอิงที่เกี่ยวข้อง

• AISC 360 / Steel Construction Manual — ขีดจำกัดการแอ่นตัวด้านการใช้งานสำหรับคานเหล็ก
• IBC / ASCE 7 — ตาราง 1604.3 ขีดจำกัดการแอ่นตัว (L/360, L/240, L/180) สำหรับพื้นและหลังคา
• Eurocode (EN 1990 / EN 1993) — สถานะขีดจำกัดด้านการใช้งานและเกณฑ์การแอ่นตัว
• Roark's Formulas for Stress and Strain — ตารางการแอ่นตัวของคานแบบรูปปิดสำหรับการรองรับและน้ำหนักมาตรฐาน

คำถามที่พบบ่อย

ขีดจำกัดการแอ่นตัวด้านการใช้งานอย่าง L/360 คืออะไร?

เป็นการจำกัดการแอ่นตัวสูงสุดไว้ที่ช่วงคานหารด้วยตัวเลขหนึ่ง L/360 หมายถึงช่วงคาน 3600 mm อาจแอ่นตัวได้มากที่สุด 10 mm ขีดจำกัดนี้ป้องกันปูนฉาบแตกร้าว พื้นสั่นเด้ง น้ำขังบนหลังคา และการดูน่าตกใจของคานที่หย่อนอย่างเห็นได้ชัด ค่าที่พบบ่อยคือ L/360 สำหรับพื้นภายใต้น้ำหนักบรรทุกจร L/240 สำหรับน้ำหนักบรรทุกรวม และ L/180 สำหรับหลังคา — ตรวจสอบมาตรฐานที่บังคับใช้ของคุณเพื่อดูข้อกำหนดที่แน่นอน

เหตุใดการแอ่นตัวจึงขึ้นกับ I ไม่ใช่แค่ความลึกของคาน?

การแอ่นตัวแปรผกผันกับโมเมนต์ความเฉื่อย I ซึ่งเพิ่มขึ้นตามกำลังสามของความลึกของหน้าตัด การเพิ่มความลึกของหน้าตัดสี่เหลี่ยมเป็นสองเท่าจะทำให้ I เพิ่มขึ้นแปดเท่าและลดการแอ่นตัวเหลือหนึ่งในแปด ในขณะที่การเพิ่มความกว้างเป็นสองเท่าเพียงลดการแอ่นตัวลงครึ่งหนึ่ง นั่นคือเหตุผลที่คานถูกทำให้ลึกมากกว่ากว้าง — ความลึกให้ความแข็งเกร็งได้อย่างมีประสิทธิภาพกว่าความกว้างหรือวัสดุมาก

น้ำหนักกระทำเป็นจุดกระทำที่ตำแหน่งใดในเครื่องคำนวณนี้?

น้ำหนักกระทำเป็นจุดถูกวางไว้ที่ตำแหน่งการแอ่นตัวสูงสุดตามมาตรฐานของแต่ละการรองรับ ได้แก่ กึ่งกลางช่วงสำหรับคานที่รองรับแบบง่ายและคานยึดแน่นสองปลาย และปลายอิสระสำหรับคานยื่น นี่คือกรณีเลวร้ายที่สุดและเป็นกรณีที่ตำราจัดทำเป็นตาราง น้ำหนักกระทำเป็นจุดที่ไม่อยู่กึ่งกลาง ซึ่งมีการแอ่นตัวสูงสุดอยู่ระหว่างจุดที่รับน้ำหนักกับกึ่งกลางช่วง จะเลื่อนไปพิจารณาในรุ่นถัดไปแทนที่จะประมาณค่า

คานที่ผ่านการตรวจสอบการแอ่นตัวมีความแข็งแรงเพียงพอด้วยหรือไม่?

ไม่จำเป็นเสมอไป — เป็นการตรวจสอบที่แยกจากกัน การแอ่นตัวคือด้านการใช้งาน (ความแข็งเกร็ง) ส่วนความแข็งแรงคือหน่วยแรงดัดที่ยังคงอยู่ต่ำกว่าค่าที่ยอมให้หรือไม่ คานตื้นอาจแข็งแรงแต่ยืดหยุ่นเกินไป หรือคานสั้นที่ลึกอาจแข็งเกร็งแต่รับหน่วยแรงเกิน ควรตรวจสอบหน่วยแรงดัดและแรงเฉือนแยกต่างหากเสมอ เครื่องมือนี้ครอบคลุมเฉพาะการแอ่นตัวเท่านั้น