เครื่องคำนวณการถดถอย

การถดถอยเชิงเส้นคืออะไร?

การถดถอยเชิงเส้นปรับเส้นตรง y = mx + b กับข้อมูล (x, y) โดยลดผลรวมกำลังสองของส่วนเหลือ วิธี OLS ให้ตัวประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุด

ความชัน (m) แสดงการเปลี่ยนแปลง y เมื่อ x เพิ่ม 1 หน่วย จุดตัดแกน (b) คือ y ที่ทำนายเมื่อ x = 0 R² วัดสัดส่วนความแปรปรวนที่อธิบาย

สมมติฐาน: ความสัมพันธ์เชิงเส้น ความแปรปรวนเท่ากัน ความเป็นอิสระ ส่วนเหลือเกือบปกติ

Formula: y = mx + b m = [nΣxᵢyᵢ − ΣxᵢΣyᵢ] / [nΣxᵢ² − (Σxᵢ)²] b = ȳ − m·x̄ R² = 1 − Σ(yᵢ − ŷᵢ)² / Σ(yᵢ − ȳ)²

ตัวอย่างการคำนวณ

ข้อมูล: (1,2), (2,4), (3,5), (4,4), (5,5) n=5, Σx=15, Σy=20, Σxy=66, Σx²=55 m = (5×66 − 15×20)/(5×55 − 225) = (330−300)/(275−225) = 30/50 = 0.6 b = 4 − 0.6×3 = 2.2 สมการ: y = 0.6x + 2.2 R² = 0.6

เมื่อใดควรใช้เครื่องคำนวณนี้

• นักวิทยาศาสตร์ที่หาปริมาณความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระกับผลลัพธ์ที่วัดได้ในข้อมูลการทดลอง
• นักวิเคราะห์ธุรกิจที่สร้างโมเดลพยากรณ์อย่างง่ายเพื่อประมาณยอดขายในอนาคตจากงบโฆษณา
• วิศวกรคุณภาพที่หาสหสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์กระบวนการกับสเปคของผลิตภัณฑ์ด้วยการถดถอย
• นักศึกษาที่เรียนรู้พื้นฐานการถดถอยโดยฟิตเส้นตรงกับชุดข้อมูลและตีความความชัน จุดตัดแกน และค่า R-squared

ข้อผิดพลาดที่ควรหลีกเลี่ยง

• สันนิษฐานว่าสหสัมพันธ์พิสูจน์ความเป็นเหตุเป็นผล — ความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แข็งแรงระหว่างตัวแปรสองตัวไม่ได้พิสูจน์ว่าตัวหนึ่งเป็นสาเหตุของอีกตัว; ตัวแปรกวนอาจเป็นต้นเหตุ
• ประมาณค่านอกช่วงข้อมูลไปไกลเกินไป — โมเดลเชิงเส้นได้รับการยืนยันเฉพาะภายในช่วง x ที่สังเกตได้เท่านั้น; การพยากรณ์นอกช่วงนี้ไม่น่าเชื่อถือและคลาดเคลื่อนมากขึ้นเรื่อย ๆ
• ละเลยรูปแบบของส่วนเหลือ — หากส่วนเหลือ (residuals) แสดงรูปแบบเชิงระบบ (เช่น รูปตัว U) แสดงว่าโมเดลเชิงเส้นไม่เพียงพอ ควรพิจารณาโมเดลไม่เชิงเส้น
• พึ่งพา R-squared เพียงอย่างเดียวในการตัดสินคุณภาพโมเดล — R-squared ต่ำไม่ได้ปฏิเสธความสัมพันธ์ และ R-squared สูงก็ไม่ได้ยืนยัน; ตรวจสอบสมมติฐานและส่วนเหลือเสมอ

วิธีตีความผลลัพธ์

• ความชัน (m) บอกว่า y เปลี่ยนไปเท่าใดต่อการเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วยของ x — ความชัน 2.5 หมายความว่า y เพิ่มขึ้น 2.5 หน่วยต่อการเพิ่มขึ้น 1 หน่วยของ x
• R-squared เท่ากับ 0.85 หมายความว่า 85% ของความแปรผันใน y ถูกอธิบายด้วย x — อีก 15% ที่เหลือมาจากปัจจัยอื่นหรือสัญญาณรบกวน
• หากจุดตัดแกน (b) เป็นลบหรือมีค่าใหญ่ผิดปกติ อาจบ่งชี้ว่าโมเดลเชิงเส้นใช้ไม่ได้ใกล้ x = 0 — จุดตัดแกนมีความหมายเฉพาะเมื่อ x = 0 อยู่ในช่วงข้อมูล

มาตรฐานและเอกสารอ้างอิง

• Legendre, A.-M. (1805), Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes — งานตีพิมพ์แรกของวิธีกำลังสองน้อยที่สุด
• Draper & Smith, Applied Regression Analysis (Wiley) — เอกสารอ้างอิงคลาสสิกสำหรับการฟิตด้วยกำลังสองน้อยที่สุดและการวินิจฉัยส่วนเหลือ
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (ส่วนที่ 4 การสร้างแบบจำลองกระบวนการ) — แนวทางปฏิบัติเรื่องการถดถอยเชิงเส้นและการตรวจสอบความถูกต้องของแบบจำลอง

คำถามที่พบบ่อย

R² บอกอะไรและค่า 'ดี' คือเท่าไร?

R² แสดงสัดส่วนความแปรปรวนที่อธิบาย วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ: > 0.95 สังคมศาสตร์: 0.3-0.7 ยอมรับได้ R² สูงไม่ได้พิสูจน์เหตุผล

ใช้กับข้อมูลไม่เป็นเส้นตรงได้ไหม?

ไม่ได้โดยตรง สำหรับความสัมพันธ์เป็นเส้นโค้ง ให้พิจารณาการถดถอยพหุนามหรือการแปลงลอการิทึม